El teorema de Gödel y sus isomorfismos

Matemáticas, sistemas informáticos, inteligencia artificial y mente humana

Introducción

El siglo XX supuso una auténtica convulsión para los más profundos temas filosóficos, hubo una auténtica revolución en la física, pero también sacudió un profundo terremoto en las matemáticas y este no es tan conocido como el que sacudió la física.

El objetivo de este artículo es mostrar el teorema de Gödel y los isomorfismos de este con otras áreas del conocimiento como la física,  psicología, informática, etc.

Se trata de un tema profundo de la filosofía pues muestra hasta qué punto la imperfección arraiga en las leyes de la física y las matemáticas. Así que aquí, surgen cuestiones fundamentales: ¿son las matemáticas una creación humana con sus correspondientes imperfecciones  o trascienden el mundo humano y existen independientemente de este?.

La respuesta es o debería ser la segunda parte de la pregunta, es decir las matemáticas como ente abstracto independiente de  la creación humana. Aunque siempre queda la duda de hasta dónde puede profundizar la mente humana en las matemáticas y si sus imperfecciones (las de las matemáticas) no son más que un reflejo de nuestra mente imperfecta o subyacen profundamente en los fundamentos últimos de las matemáticas.

Kurt Gödel

Una vez que exponga el teorema de Gödel, desarrollaré los diferentes isomorfismos en diferentes ámbitos como la informática y la mente humana, donde se plantean diversas cuestiones interesantes: ¿puede un sistema comprenderse a sí mismo? ¿Se puede “programar” cualquier cosa en un sistema informático? ¿Puede el ser humano comprender el funcionamiento de su propio cerebro? ¿Se podrá algún día igualar o superar la inteligencia humana con un sistema informático?¿Puede un ordenador programarse a sí mismo?  ¿Puede un ser humado distinguir un ordenador de una mente humana?

Un poco de historia

Ya en la antigua Grecia los filósofos elaboraban ciertas paradojas filosóficas o “bucles extraños” que quedaban en meras curiosidades del pensamiento humano y de las leyes de la lógica. Hay una paradoja de la que hablaré más adelante llamada  paradoja de Epiménides o paradoja del mentiroso. Epiménides, Cretense hizo esta aseveración:

 “Todos los cretenses son mentirosos”.

Esta inocente afirmación escondía una revelación perversa que seguramente permaneció oculta hasta para el mismo Epiménides. Así que en la Grecia clásica permaneció intacta la dicotomía que consideraba el mundo humano como imperfecto frente al contrapuesto reino de los cielos con sus luces inmutables y su  precisión digna del “reloj sumo” del universo como ejemplo de perfección absoluta.

Nicolás Copérnico fue el primero en poner en duda este sistema situando al sol y no la tierra en el centro del universo, con esto comenzaba a colocar la tierra como un elemento más del universo con el consiguiente choque ideológico que supuso este cambio de paradigma. Más tarde las observaciones precisas de Ticho Brahe dieron pie a Johannes Kepler a elaborar una teoría sobre las verdaderas órbitas seguidas por los planetas, que no eran círculos ni epiciclos sino elipses, una forma más imperfecta que el círculo, con lo que la dicotomía cielo-perfecto-tierra-imperfecta comenzaba a diluirse.

Cuando Galileo Galilei observó manchas en la superficie del sol, montañas en la luna y otros astrónomos y filósofos comenzaron a ver los planetas como mundos distantes, esta dicotomía desapareció completamente dando origen al saber y las ciencias modernas.

Con la llegada de Isaac Newton, la ciencia determinista moderna alcanzaba su cénit y los filósofos comenzaban a hablar del final de la ciencia pues las leyes deterministas de Newton podían predecir el devenir del universo con tanta precisión como se quisiera.

De algún modo la dicotomía perfección-imperfección había pasado del mundo humano-cielo al mundo humano-leyes de la física.

El primer fiasco fue doble

Casi al mismo tiempo y en dos magnitudes contrapuestas (lo muy grande y lo microscópico) se descubrió que las leyes de la física, lejos de su perfección newtoniana eran más escurridizas y extrañas de lo que se había pensado nunca.

En 1905 primero y más tarde en 1915, Albert Einstein formuló sus dos  teorías de la relatividad que supusieron un shock para la cosmología de la época y revolucionaron  la concepción del universo. Por otro lado en 1925 Werner Heisenberg dentro del marco de la nueva teoría de la mecánica cuántica, estableció la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes físicas sean conocidas con precisión. Por ejemplo, la posición y el momento lineal (cantidad de movimiento) de un objeto dado.

Einstein y Gödel charlando. Tomado de La bella teoría.

Este principio que lleva su nombre y acabó con la idea de las leyes de la física deterministas.

Se trataba de teorías completamente inesperadas y fuera del sentido común de los humanos, incluso a Einstein le costaba aceptar el principio de incertidumbre de Heisenberg lo que puso de manifiesto con su famosa frase: “Dios no juega a los dados”. Sin embargo las matemáticas que subyacen a estas dos teorías aunque complejas son exquisitas en el sentido de que hacen predicciones de ambas teorías con la misma exactitud que Newton calculaba las órbitas de los planetas. Así que aunque la física cayó en el mundano mundo imperfecto, quedaban las matemáticas, (ese ente abstracto e ideal)  como último bastión de la perfección absoluta.

Y llegó Gödel

En 1931 un matemático  nacido en el imperio austrohúngaro,  actual república Checa llamado Kurt Gödel publicó su famoso trabajo llamado “Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados” en el que utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, que las matemáticas son incompletas. Gödel demostró que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados en los que no es posible decidir si son verdaderos o falsos, basándose en la propia lógica matemática del sistema.

Antes de Gödel, los matemáticos se limitaban a demostrar si un enunciado  era verdadero o falso. Con Gödel surge una diferencia sutil entre los conceptos de verdad/falsedad y demostrabilidad.

Gödel retomó la vieja paradoja de Epiménides del mundo clásico y la tradujo al formalismo del lenguaje matemático. Utilizó el razonamiento matemático para explorar el razonamiento matemático. El teorema de Gödel aparece como proposición VI de un artículo suyo “Sobre proposiciones formalmente indecibles en los principia matemática y sistemas relacionados, I” (1931) y dice así:

A cada clase k w-consistente y recursiva de formulae corresponden signos de clase r recursivos, de tal modo que ni v Gen r ni neg(v Gen r) pertenecen a flg(k) (donde v es la variable libre de r)

Como dice Hofstadter en su magnífico libro “Gödel-Escher y Bach un Eterno y Grácil Bucle” "el artículo se redactó en alemán, y da la impresión de que sigue en alemán”. Una traducción más comprensible sería esta:

“toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecibles”

Otra traducción podría ser:

“esta proposición de teoría de los números no tiene ninguna demostración”

Que se parece mucho a la paradoja de Epiménides original.  El concepto de demostración es difícil de comprender para los no matemáticos, si no en una forma bastante vaga. La obra de Gödel se inscribe como episodio en el largo esfuerzo de los matemáticos por explicarse a sí mismos lo que son las demostraciones.

El sistema de razonamiento  al que se refiere la palabra “demostración” es el de los principia Matematica (P.M.) de Bertrand Rusell y Alfred North Whitehead, publicada entre 1910 y 1913.

Antes de los P.M. Gottlob Frege había publicado ya un primer intento tratando de sistematizar toda la matemática en base a la pura lógica, pero Bertrand Russell, le envió una carta en la que le planteaba una paradoja que generaba una contradicción en su sistema de axiomas con lo que Frege se dio cuenta que su obra de sistematización quedaba en entredicho.

Varios años más tarde el propio Rusell y otro matemático, Alfred North Whitehead, intentaron reparar el daño hecho por su paradoja, al edificio de la lógica matemática, escribiendo una obra que titularon Principia Mathematica. Desarrollaron un sistema matemático de axiomas y reglas de inferencia, con el objetivo de traducir en su formalismo todos los tipos de razonamientos matemáticos correctos. Todo estaba especialmente cuidado para impedir los tipos de razonamiento paradójico que conducían a la propia paradoja de Russell.

Posteriormente, el matemático David Hilbert intentó establecer un sistema más comprensible en el que se incluirían todos los tipos de razonamientos matemáticamente correctos para cualquier área matemática particular. Su pretensión era que fuera incluso posible demostrar que el esquema estaba libre de contradicciones. Entonces, las matemáticas estarían situadas, para siempre, sobre unos fundamentos inatacables.

Pero en 1931 Kurt Gödel, con 25 años, publicó el artículo comentado más arriba y desmontó, definitivamente, la estructura de la lógica matemática, que se suponía completa. Desde entonces el mundo está carente de perfección en cualquier área del conocimiento, existiendo siempre resquicios por los que el sistema hace aguas.